foundation

Teoría de Terzaghi

Capacidad de carga de cimentaciones superficiales

functionsFórmula general

Terzaghi (1943) presentó la primera teoría integral para evaluar la capacidad de carga última (\(q_u\)) de zapatas superficiales rugosas. Para una zapata corrida (franja), la fórmula es:

Capacidad de carga última — zapata corrida

\[ q_u = c\,N_c \;+\; q\,N_q \;+\; \tfrac{1}{2}\,\gamma\,B\,N_\gamma \]

Variables

Donde cada término aporta una contribución distinta a la resistencia.

Cohesión

Adherencia interna del suelo. Término: \(cN_c\)

Sobrecarga

\(q=\gamma D_f\), presión del suelo sobre la base. Término: \(qN_q\)

Peso volumétrico

Peso del suelo bajo la base. Término: \(\tfrac12\gamma B N_\gamma\)

Ancho

Dimensión menor de la zapata

N_c

Factor de cohesión

Depende de \(\varphi\)

N_q

Factor de sobrecarga

Depende de \(\varphi\)

N_γ

Factor de peso

Depende de \(\varphi\)

D_f

Profundidad

Bajo esta se considera la superficie (cimentación superficial)

Variantes por forma de zapata

Factores de forma que modifican la fórmula (Terzaghi).

Corrida (franja): \[ q_u = cN_c + qN_q + \tfrac{1}{2}\gamma B N_\gamma \]

Cuadrada: \[ q_u = 1.3\,cN_c + qN_q + 0.4\,\gamma B N_\gamma \]

Circular: \[ q_u = 1.3\,cN_c + qN_q + 0.3\,\gamma D N_\gamma \]

Cimentación superficial

Según Terzaghi, una cimentación es superficial si su profundidad de desplante \(D_f \le B\) (ancho). Autores posteriores la extienden hasta \(D_f\) de 3 a 4 veces el ancho. Se asume falla por cortante general y la sobrecarga se sustituye por la carga equivalente \(q = \gamma D_f\).

account_treeDerivación de los factores

Terzaghi no obtuvo los factores con una única fórmula cerrada: usó un método aproximado por superposición, resolviendo tres problemas límite (cohesión, sobrecarga y peso del suelo) por separado y sumándolos. Aquí está la derivación paso a paso de \(N_q\).

Ideas clave

El punto de partida es la cuña activa ACD bajo la zapata. La carga última debe vencer la fuerza pasiva que se genera en cada cara de la cuña, imaginando las caras AD y CD como muros que empujan el suelo hasta rotura pasiva. La fuerza pasiva \(P_p\) se descompone en la contribución del peso (\(\gamma\)), la cohesión (\(c\)) y la sobrecarga (\(q\)).

\[ q_u \cdot B \;=\; 2\,P_p \sin\varphi \qquad\qquad P_p \;=\; P_{p\gamma} + P_{pc} + P_{pq} \]

Paso a paso: \(N_q\)

Caso límite: suelo sin peso (\(\gamma=0\)) y sin cohesión (\(c=0\)); solo actúa la sobrecarga \(q\).

Cuña pasiva de Rankine

En la zona pasiva triangular (Zona III), la relación entre el empuje pasivo y la sobrecarga es el coeficiente de empuje pasivo de Rankine:

\[ K_p \;=\; \tan^2\!\left(45^\circ + \tfrac{\varphi}{2}\right) \;=\; \frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi} \]

Espiral logarítmica (zona de cortante radial)

La Zona II está acotada por una espiral logarítmica, cuya propiedad clave es que el radio vector siempre forma un ángulo \(\varphi\) con la normal, satisfaciendo el criterio de Mohr-Coulomb en toda la superficie de deslizamiento:

\[ r \;=\; r_0\, e^{\,\theta \tan\varphi} \]

Crecimiento exponencial de la presión

Al integrar el equilibrio límite a lo largo de la espiral (desde la zona pasiva hasta el borde de la cuña activa), la presión se amplifica exponencialmente con el ángulo de barrido (\(\pi\) radianes en el mecanismo de Prandtl):

\[ e^{\pi \tan\varphi} \]

Producto: el factor \(N_q\)

El factor adimensional \(N_q\) es el producto del arranque de Rankine por el factor exponencial de Prandtl:

\[ \boxed{N_q \;=\; e^{\pi\tan\varphi}\;\cdot\;\tan^2\!\left(45^\circ + \tfrac{\varphi}{2}\right)} \]

Forma Prandtl / Meyerhof

Nota: geometría de la cuña rugosa (Terzaghi)

Al suponer la zapata rugosa, la cuña activa no desliza sobre la base y los ángulos de la cuña se toman a \(45^\circ+\varphi/2\). La espiral barre entonces un ángulo mayor, dando la forma original de Terzaghi (la que reproduce los valores de la Tabla 5.1 de Das):

\[ N_q \;=\; \frac{e^{(3\pi/2 - \varphi)\tan\varphi}}{2\cos^2(45^\circ + \varphi/2)} \]

Ejemplo con \(\varphi = 30^\circ\): forma Prandtl/Meyerhof → \(N_q \approx 18.40\), y forma Terzaghi (cuña rugosa) → \(N_q \approx 22.46\) (coincide con la Tabla 5.1 del PDF).

Los otros factores

El mismo mecanismo (espiral logarítmica + cuña pasiva de Rankine) da las expresiones para \(N_c\) y \(N_\gamma\):

\[ N_c \;=\; (N_q - 1)\,\cot\varphi \qquad (\varphi=0^\circ \Rightarrow N_c = 5.7\ \text{Terzaghi / } 5.14\ \text{Prandtl}) \]

\[ N_\gamma \;=\; 2\,(N_q + 1)\,\tan\varphi \qquad \text{(Terzaghi)} \]

\(N_\gamma\) es el más difícil porque el peso del suelo rompe la simetría y no tiene solución cerrada simple; Terzaghi lo determinó por tanteo / método gráfico. Las fuentes modernas presentan variantes (Meyerhof, Hansen, Vesic) que difieren en \(N_\gamma\).

Superposición de tres casos límite

Terzaghi resolvió tres problemas independientes y los sumó:

γ=0

Caso 1

Sin peso, sin sobrecarga → solo cohesión → define \(N_c\)

c=0

Caso 2

Sin peso, sin cohesión → solo sobrecarga → define \(N_q\)

q=0

Caso 3

Con cohesión y peso, sin sobrecarga → define \(N_\gamma\) (por tanteo)

layersMecanismo de falla

Al analizar el equilibrio de la cuña, Terzaghi supone el siguiente mecanismo de falla bajo la zapata (imagen de referencia).

Mecanismo de falla de Terzaghi: cuña activa, zona de cortante radial con espiral logarítmica y zona pasiva de Rankine

Cuña activa (I) · cortante radial con espiral logarítmica (II) · pasiva de Rankine (III). Fuente: CivilWeb Spreadsheets.

table_chartTabla de factores de capacidad de carga

Valores de \(N_c\), \(N_q\) y \(N_\gamma\) según Terzaghi (Tabla 5.1 de Das) para \(0^\circ \le \varphi \le 45^\circ\).

\(\varphi\) °	\(N_c\)	\(N_q\)	\(N_\gamma\)

La fila destacada muestra el valor para \(\varphi = 30^\circ\) (\(N_c=37.16\), \(N_q=22.46\), \(N_\gamma=19.13\)).

calculateCalculador interactivo

Ajusta los parámetros del suelo (ángulo de fricción \(\varphi\), cohesión \(c\), peso volumétrico \(\gamma\)) y la geometría de la zapata (\(B\), \(D_f\)) para obtener los factores y la capacidad de carga última y admisible en vivo.

Parámetros del suelo y geometría

Ángulo de fricción \(\varphi =\) 30°

Cohesión \(c =\) 0 kPa

Peso volumétrico \(\gamma =\) 18 kN/m³

Ancho de la zapata \(B =\) 1.5 m

Profundidad de desplante \(D_f =\) 1.0 m

Forma de la zapata

Corrida Cuadrada Circular

\(q_u = cN_c + qN_q + \tfrac{1}{2}\gamma B N_\gamma\), con \(q = \gamma D_f\)
Factores de forma: corrida (1, 1, ½) · cuadrada (1.3, 1, 0.4) · circular (1.3, 1, 0.3).
\(q_{adm} = q_u / FS\) con \(FS = 3\).

Resultados

Capacidad de carga última \(q_u\)

—

kPa

Capacidad admisible \(q_{adm}\) (FS = 3)

—

kPa

Factores Nc · Nq · Nγ

—